FØRSTEHJELPSSKRIN I MATEMATIKK FOR OFFENTLIG STYRING I, Ø.K.S., HIO
INNHOLD:
|
 |
Notatet er tidligere benyttet i forbindelse med forkurs i matematikk ved kommunalutdanningen. Notatet vil forhåpentligvis tjene som verktøykasse eller førstehjelpsskrin i matematikk.
LITTERATUR FORKURS MATEMATIKK HØSTEN 2000:
*Bjørnestad, Olsson, Søyland og Tolcsiner:
Matematikk for økonomi og samfunnsfag. Høyskoleforlaget,
siste utgave med
løsningsforslag.
*Nærværende notat i papir- eller elektronisk utgave
ANNEN LITTERATUR DET HENVISES TIL:
*Risnes, Martin: Matematikk for økonomer, Univ.forlaget,
siste utgave.
*Sydsæter, Knut: Elementær algebra og funksjonslære,
Univ.forl., siste utg.
*Sydsæter, Knut: Matematisk analyse, bind 1, Univ.forlaget
1994
1. OPPVARMINGSSTOFF
romertall: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X,...
binærtall: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101,..(for datamaskiner)
arabiske siffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
N = mengden av naturlige tall = hele, positive tall N = { 1, 2, 3, ....}
Z = mengden av hele tall, positive og negative Z = { ...., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Q = mengden av rasjonale tall
(tall som kan skrives som en brøk med hele tall
i teller og nevner, jfr.punkt 2a.)
R = mengden av reelle tall f.eks 1, 1,5, Ö 2
R - Q = mengden av irrasjonale tall
(tall som ikke kan skrives som brøk med hele tall
i teller og nevner.) eks.: Ö 2 = 1,41421356237........
N Í Z Í Q Í R
(N er delmengde i Z som igjen er delmengde i Q, som i sin tur er delmengde i R)
intervall
<-2, 4> intervallet mellom -2 og 4, men unntatt -2 og 4.
[-2, 4] intervallet fra og med -2, til og med 4.
NOEN TEGNFORKLARINGER
= betyr 'er lik'
:= betyr 'settes lik' (benyttes bl.a i endel programmeringspråk)
==> betyr 'fører til' eller 'impliserer'
<== betyr 'er en følge av'
<==> betyr 'er ekvivavalent med'
OPERASJONER PÅ TALL
Addisjon 1 + 2 = 3
Subtraksjon 3 - 2 = 1
Multiplikasjon 4 * 3 eller 4 x 3 = 12
Divisjon 4 / 3 eller 4 : 3 = 1,3333
LITT OM POTENSER
Tall multipliseres med seg selv et bestemt antall ganger: a*a = a2, a*a*a = a3 osv.
KVADRATSETNINGENE
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
(a+b)*(a-b) = a2 - b2
2a. BRØK
40 40 er teller
brøkstrek er det samme som deletegn
5 5 er nevner
Å UTVIDE en brøk vil si å multiplisere teller og nevner med samme tall, f.eks.:
Å FORKORTE en brøk vil si å dividere teller og nevner med samme tall, f.eks.:
2b. PROSENTREGNING
Prosent eller " pro cent" betyr "av hundre", slik at f.eks.
20 prosent eller 20% betyr
20
.
Således betyr 20 prosent av 250 at
100
20
*
250 = 50
100
20
kan skrives som 0,2 slik at ovennevnte uttrykk kan skives som 0,2 * 250
= 50.
100
10 prosent kan skrives som 0,1
20 prosent kan skrives som 0,2
30 prosent kan skrives som 0,3
40 prosent kan skrives som 0,4
50 prosent kan skrives som 0,5 osv.
100 prosent kan skrives som 1
Å REGNE UT ENDRING I PROSENT INNEBÆRER AT DU REGNER UT ENDRINGEN I PROSENT AV UTGANGSPUNKTET.
F.eks folkemengden i en kommune øker med 250 fra 5000 til 5250. Dette er
250
*100 = 5 % økning, og ikke 4,76 %.
5000
Å LEGGE EN VISS PROSENT TIL ET TALL
Å legge til 10 prosent vil si at vi skal ha 100
prosent + 10 prosent = 110 prosent. 110 prosent er det samme som
110
= 1,1.
100
Dette innebærer at skal man legge 10 prosent til et tall, så kan man multiplisere tallet med 1,1.
250 * 1,1 = 275
SKAL DU LEGGE TIL MULTIPLISERER DU MED:
5 prosent
1,05
10 prosent
1,1
15 prosent
1,15
50 prosent
1,5
75 prosent
1,75
100 prosent
2 osv.
Å TREKKE EN VISS PROSENT FRA ET TALL
Å trekke fra 10 prosent vil si at vi skal ha 100 prosent - 10 prosent = 90 prosent. 90 prosent er det samme som
90
= 0,9.
100
Dette innebærer at skal man trekke 10 prosent fra et tall, så kan man multiplisere tallet med 0,9.
250 * 0,9 = 225.
SKAL DU TREKKE FRA MULTIPLISERER DU MED
5 prosent
0,95
10 prosent
0,9
15 prosent
0,85
20 prosent
0,8
30 prosent
0,7
50 prosent
0,5
75 prosent
0,25
90 prosent
0,1 osv
3a. MER OM POTENSER
a i femte potens er a multiplisert med seg selv 5 ganger;
a*a*a*a*a = a5. a er grunntallet, 5 er eksponenten.
REGNEREGLER FOR POTENSER
am*an = am+n
(a*b)m = am * bm
(am)n = am*n
3b. ROTUTTRYKK
La a være et positivt tall og la n være et naturlig tall. Likningen
Xn = a har løsningen X = ±
,
dvs. pluss/minus n'te rot av a. Dersom n = 2, pleier vi å skrive 
istedet for 
.
KVADRATROT.
X2 = a ==> X = ± 
Eks.: Løsningen på likningen X2
= 4 er X =±
= ±
2 fordi (+2)*(+2)= 4 og
(-2)*(-2)= 4. Kvadratroten til 4 er +2.
KUBIKKROT.
X3 = a ==> X =
Eks.: Løsningen på likningen X3 = 8 er x = 2 fordi 2*2*2 = 8. 2 er kubikkroten eller tredjeroten til 8.
n'TE ROT.
Xn = a har løsningen X = ±
Dersom rotindeksen n er et partall kan det dreie seg om to løsninger. Dersom rotindeksen n er et oddetall kan radikanden a være negativ.
Xn = a ==> X = ±
ROTUTTRYKK KAN SKRIVES SOM EN POTENS:
± = 
(Dette er nyttig å vite dersom du f.eks. skal finne 5. rot av 3125 på kalkulator)
POTENSREGNING OG ROTREGNING ER MOTSATTE REGNEOPERASJONER
= a
MERK: REGNEREGLER FOR ROTUTTRYKK ER SOM FOR POTENSER
4a. LIKNINGER
En likning er en sammenstilling av to uttrykk med likhetstegn mellom. Dersom likningen har løsning, så innebærer likhetstegnet at venstre side og høyre side i likningen har samme verdi.
x*3 = x + 8
Å løse en likning med en ukjent vil si å finne den eller de verdier for den ukjente (f.eks. x) som tilfredsstiller likningen.
En betingelse for å kunne løse likningen er å isolere den ukjente på den ene siden. De to sidene i en likning omtales gjerne som venstre side (V) og høyre side (H).
For å kunne isolere den ukjente i en likning med en ukjent kan man benytte addisjonsregelen og/eller multiplikasjonsregelen
Addisjonsregelen innebærer at vi kan legge til eller trekke fra det samme tall på begge sider.
3 = 3 ==> 3+4 = 3+4
3 = 3 ==> 3-2 = 3-2
Multiplikasjonsregelen innebærer at vi kan multiplisere med eller dividere med samme tall på begge sider.
3 = 3 ==> 3*4 = 3*4
3 = 3 ==> 3:2 = 3:2
Løsning av
x*3 = x + 8 ==>
Vi trekker fra x på begge sider:
x*3 - x = x - x + 8 ==>
x*3 - x = 8 ==>
2*x = 8 ==>
Vi dividerer med 2 på begge sider:
2*x:2 = 8:2 ==>
x = 4
L = { 4 }
==============
LIKNINGER MED TO UKJENTE X og Y
For å kunne løse likninger med to ukjente, trenger vi to likninger I og II, f.eks
I 2*X + 3*Y = 19
II X + Y = 7
En løsningsmetode kalles innsettingsmetoden. Vi finner X uttrykt ved Y fra likning II:
X = (7 - Y) og setter dette inn i likning I.
I 2*(7-Y) + 3*Y = 19 ==>
14 - 2*Y + 3*Y = 19 ==>
Y = 19 - 14 = 5 ==>
X = (7 - 5) = 2.
LIKNINGER MED TRE UKJENTE X,Y OG Z
Benytt innsettingsmetoden, ved at du vha en av likningene
uttrykker enten X, Y eller Z som funksjon av de to andre variablene. Sett
inn i de to andre likningene, og problemet er redusert til to likninger
med to ukjente. Kanskje enda bedre er å benytte en metode der en
eliminerer en av variablene X, Y eller Z. Da er det kjekt å huske
at vi kan benytte multiplikasjonsregelen på en eller flere av de
tre likningene. I tillegg er det kjekt å vite at likninger i et sett
med lineære likninger om ønskelig kan legges sammen.
Eks.:
I) x +2y + 3z = 140
II) -6x +7y + 8z = 320
III) x + y - z = 0
Her kan vi gå inn for å eliminere variabelen
x ved å multiplisere likning I og III med 6.
NYI) 6x +12y + 18z = 840
II) -6x +7y + 8z = 320
NYIII) 6x + 6y - 6z = 0
NYI +II gir 19y + 26z =1160 (IV)
II +NYIII gir 13y + 2z =320 (V)
Her kan vi eliminere z ved å multiplisere likning
V med 13.
IV) 19y + 26z =1160
NYV) 169y + 26z =4160
NYV -IV gir 150y = 3000 ==> y=3000/150=20
Likning IV gir 19(20) +26z =1160 ==> 26z=1160-380 ==>
z=780/26=30
Likning I gir x +2(20) +3(30) = 140 ==>x = 140 -40 -90
= 10
Hvis noen syns det var litt rart at en plutselig kunne legge sammen to likninger, så husk at dette er jo i grunnen bare bruk av addisjonsregelen som sier at vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet (eller verdien) på begge sider av en likning! .
OM BOKSTAVREGNING
I en del likninger kan en oppleve at det benyttes bokstaver som konstanter. I slike tilfeller må en merke seg hva man skal finne, f.eks X og behandle andre tall og bokstaver som konstanter. F.eks: Løs likningen med hensyn på X, dvs. finn X når
X*3 = X + q ==>
X*3 -X = q ==>
2*X = q ==>
X = (q/2)
4b. ULIKHETER
3*x -7 < 7 - x
> betyr større enn
< betyr mindre enn
>= betyr større enn eller lik
<= betyr mindre enn eller lik
3 < 5 betyr 3 er mindre enn 5
En betingelse for å kunne løse en ulikhet er å isolere den ukjente på den ene siden. De to sidene i en ulikhet omtales gjerne som venstre side (V) og høyre side (H).
For å kunne isolere den ukjente i en ulikhet kan man benytte addisjonsregelen. En kan i tillegg også benytte multiplikasjonsregelen, men må da huske å snu ulikhetstegnet, dersom det tallet det multipliseres eller divideres med er negativt.
Addisjonsregelen innebærer at vi kan legge til eller
trekke fra det samme tall på begge sider.
3 < 4 ==> 3+4 < 4+4
3 < 3 ==> 3-2 < 4-2
Multiplikasjonsregelen innebærer at vi kan multiplisere med eller dividere med samme tall på begge sider.
3 < 4 ==> 3*4 < 4*4
3 < 4 ==> 3:2 < 4:2
Merk at når det multipliseres eller divideres med et negativt tall, så må ulikhetstegnet snus.
3 < 4 ==> 3*(-4) > 4*(-4)
3 < 4 ==> 3:(-2) > 4:(-2)
Løsning av
3*x -7 < 7 - x ==>
Vi legger til x på begge sider:
3*x + x - 7 < 7 - x + x ==>
4*x -7 < 7 ==>
Vi legger til 7 på begge sider:
4*x - 7 + 7 < 7 + 7 ==>
4*x < 14 ==>
Vi dividerer begge sider med 4:
4*x : 4 < 14 : 4 ==>
x < 3,5
L = < ¬ , 3.5 >
5. ANNENGRADS-LIKNINGER
Ordnet annengradslikning:
a*x2 + b*x + c = 0
Løsning finnes slik:
6. FUNKSJONER
Når vi ønsker å beskrive fenomener
i verden rundt oss, er vi ofte interessert i å studere hvordan visse
størrelser avhenger av andre. (Jfr. bla Risnes
1989:13). Det kan være en fiskeoppdretter som ønsker å
observere fiskeyngelens vekt som funksjon av tid, eller vi ønsker
å studere hvordan kostnader påvirkes av produsert mengde eller
om sigarettrøkning øker risiko for lungekreft.
Y = f(x). x er uavhengig variabel,
Y er avhengig variabel. Det området hvor x er definert, kalles
definisjonsmengden, mens det området hvor Y er definert, kalles verdimengden.
I økonomistyringssammenheng benytter vi gjerne
M for mengde istedet for den noe mer anonyme x og måler ofte den
avhengige variabelen Y i kroner.
LINEÆRE FUNKSJONER (FUNKSJONER AV FØRSTE
GRAD)
De enkleste funksjoner vi kjenner, er lineære funksjoner
på formen Y = a +b*x.,
f.eks Y = 0 +3x dvs. Y = 3x. Dette innebærer
at Y = 0 når x = 0, at Y = 3*1 =3 når x =1, at Y = 3*2 = 6
når x = 2 osv. Hva kan dette forestille? Anta at ett
eple koster 3kr. Da kan Y være en funksjon som viser hva x (et hvilket
som helst antall) epler koster, dersom hvert eple koster 3 kr.
For å finne ut hva 7 epler koster, kan vi enten sette inn i formelen
Y = 3*7 = 14, eller vi kan lese av i den grafiske framstillingen.
 |
Df = definisjonsmengde,
dvs. hvor x er definert, f.eks fra 0 til 100. Vf = verdimengde, dvs. hvor er y definert. Hvis funksjonen er
y= 3x og x er definert fom 0 tom 100, ja da er verdimengden mellom y=3*0
=0 og y=3*100 = 300.
|
FUNKSJONER AV NULLTE GRAD.
Funksjoner av nullte grad er det samme som konstantfunksjoner,
dvs. de er på formen Y= c, f.eks Y=100. Det at funksjonen er
parallell med x-aksen viser at x ikke påvirker Y. Funksjonen
Y=100 kan f.eks være ett uttrykk for faste kostnader. F.eks
forventes at husleiekostnadene for en pølsebod ikke øker,
selv om det selges flere pølser.
ANNENGRADSFUNKSJONER
Annengradsfunksjoner er funksjoner på formen Y
= a*x2 +b*x + c, dvs. en funksjon der den høyeste
potens for x er 2, f.eks. Y = 3 +x2:
FUNKSJONER KAN VÆRE AV HØYERE GRAD
Funksjoner der høyeste potens for x er 3, kalles
3.gradsfunksjon og funksjoner der høyeste grad for x er 4, kalles
4. gradsfunksjon osv.
BRØKFUNKSJONER
Vi kan treffe på funksjoner som er uttrykt
i brøkform, f.eks Y = (x+6)/(2x-1). Det er verdt å merke
seg at grafen til slike funksjoner deler seg i to der nevneren blir lik 0. Husk
nemlig at ”å dividere på null blir tull” eller mer presist:
Vi får funksjonsverdier lik pluss eller minus uendelig. (+
eller -).
Nettopp fordi funksjoner ofte er modeller av virkeligheten, kan det være interessant å studere funksjoner nærmere. Dette kalles gjerne for funksjonsdrøfting. Mer om det i Førstehjelpsskrin i matematikk, del 2.
LOGARITMER
Gå ut fra funksjonen f(x) = 10x.
Denne funksjonen viser grunntallet 10 opphøyet i eksponenten x. Dersom denne funksjonen tegnes, vil en kunne se at f(x) = 5 når x er ca. 0,699. Tallet 5 kan altså uttrykkes som grunntallet 10 opphøyet i 0,699. Eksponenten 0,699 kalles for LOGARITMEN til 5, eller LOG(5) = 0,699, fordi 100,699 = 5.
På din lommeregner finner du kanskje ikke funksjonen LOG, men istedet funksjonen LN. Dette er den naturlige logaritmen. (Den naturlige) logaritmen til 5 er 1,609437912 som er det tallet e = 2,718281828 må opphøyes i for å få tallet 5. Dvs.
2,7182818281,609437912 = 5.
For den som ønsker å studere om hvorfor
en valgte akkurat dette tallet e, se Risnes(1989).
REGNEREGLER FOR LOGARITMER:
LN(X*Y) = LN(X) + LN(Y)
Fordelen med å regne med logaritmer er at vi kan løse likninger av følgende type:
I en kommune minker folketallet med 6% pr. år. Dersom denne avfolkingen fortsetter, hvor mange år tar det før folketallet er sunket til halvparten?
La oss anta at folketallet er 5000. Vi skal finne x = antall år i denne likningen:
5000 * (0,94)x = 5000/2 ==>
5000 * (0,94)x = 2500 ==>
(0,94)x = 0,5 ==>
LN( (0,94)x ) = LN(0,5) ==>
LN(0,5)
x * LN(0,94) = LN(0,5) ==> x =
= 11,2
LN(0,94)
Det tar altså noe over 11 år før befolkningen
i denne kommunen er sunket til halvparten.
7. ARITMETISKE TALLFØLGER OG REKKER
an = a1 + (n-1)*d (Finn n'te ledd i en aritmetisk tallfølge)
(a1
+ an)
Sn = *
n (Finn summen av de n første
ledd i en aritmetisk rekke)
2
Tallfølgen 1, 3, 5, 7, 9, 11 er en aritmetisk tallfølge med a1 = 1 og d = 2.
Anvendelse: rente på serielån
8. GEOMETRISKE TALLFØLGER OG REKKER
an = a1 * kn-1 (Finn n'te ledd i en geometrisk tallfølge)
kn - 1
Sn = a1 *
(Finn summen av de n første ledd i en geometisk rekke)
k - 1
a1
=
(Finn summen av en uendelig geometrisk rekke)
1 - k
(Betingelsen er at rekken konvergerer. -1 < k < +1)
Tallfølgen 1,2,4,8,16,32,64 er en geometrisk tallfølge med a1 = 1 og k = 2.
Anvendelser: rentesrente, diskontering, annuiteter, investeringsanalyse,
saldoavskrivning.
9. DERIVASJON - FINN STIGNINGSTALLET FOR FUNKSJONER
Dette er et verktøy som er svært nyttig når en skal studere funksjoner. (Funksjoner er jo ofte en modell som tar sikte på å forklare fenomener i virkeligheten) F.eks kan vi være interessert i å bestemme funksjoners vekst og mulige minimums- og/eller maksimumspunkter.
DERIVASJON AV KONSTANT
f(x) = c ==> f'(x) = 0
eks.: f(x) = 4 ==> f'(x) = 0.
(Den deriverte av en konstant er 0)
DERIVASJON AV POTENSUTTRYKK
f(x) = xn ==> f'(x) = n * x n-1
eks.: f(x) = x4 ==> f'(x) = 4*x3
f(x) = c * xn ==> = n * c * x n-1
eks.: f(x) = 5*x3 ==> f'(x) = 3*5*x3-1
= 15*x2
LEDD-FOR-LEDD-REGELEN:
f(x) = g(x) + h(x) ==> f'(x) = g'(x) + h'(x)
eks.: f(x) = g(x) + h(x) = 7*x3 + 5*x9 ==>
f'(x) = 3*7*x3-1 + 9*5*x9-1 = 21*x2
+ 45*x8
DERIVASJON AV PRODUKT
f(x)= g(x) * h(x) ==> f'(x) = g'(x)*h(x) + h'(x)*g(x)
eks.: f(x) = g(x) * h(x) = (6 + 7*x3) * (3 - 5*x9) ==>
f'(x) = 3*7*x3-1 * (3 - 5*x9) + (6 + 7*x3) * (-9*5*x9-1) ==>
f'(x) = 21*x2 * (3 - 5*x9) + (6 + 7*x3) * (-45*x8) ==>
f'(x) = 63*x2 - 105x11 -270*x8 - 315*x11
f'(x) = 63*x2 - 420x11 -270*x8
KJERNEREGELEN (FUNKSJONSFUNKSJONSREGELEN)
f(x) = g(h(x)) ==> f'(x) = g'(h)*h'(x), f.eks:
f(x) =
==>
f’(x) =
Først deriveres den ytre funksjonen mhp h, deretter multipliseres med den deriverte av kjernen h.
DERIVASJON AV KVOTIENT
g(x)
g'(x)*h(x) - h'(x)*g(x)
f(x) =
==> f'(x) =
h(x)
(h(x))2
I prinsippet er kvotientregelen overflødig idet en kan benytte produktregelen og eventuelt kjerneregelen. Husk nemlig at
g(x)
= g(x) * (h(x))-1
h(x)
10. FUNKSJONER FRA ØKONOMIEN
Anta at STK(M) = 0.0002*M3 - 0,15*M2
+ 240*M + 24000
Da er
GK = STK'(M) = 0,0006*M2 - 0,3*M + 240
VTK = 0.0002*M3 - 0,15*M2 + 240*M
FTK = 24000
SEK = STK/M = 0.0002*M2 - 0,15*M + 240 + (24000/M)
VEK = VTK/M = 0.0002*M2 - 0,15*M + 240
Vi har å gjøre med funksjoner som er kontinuerlige i det aktuelle området.
En funksjons maksimum eller minimum kan finnes der den deriverte av funksjonen er 0. Dersom funksjonens annenderiverte er mindre enn 0 har vi å gjøre med et maksimumspunkt. Dersom funksjonens annenderiverte er større enn 0 har vi å gjøre med et minimumspunkt.
Skal vi finne mengden for minimum VEK, deriver VEK-funksjonen og sett lik 0. Løsningen for M gir da mengden for minimum VEK. Dersom denne løsningen for M settes inn i uttrykket for VEK-funksjonen, finner vi minimum VEK.
Skal vi finne mengden for minimum SEK, deriver SEK-funksjonen og sett lik 0. Løsningen for M gir da mengden for minimum SEK. Dersom denne løsningen for M settes inn i uttrykket for SEK-funksjonen, finner vi minimum SEK.
Anta at Innt(M) = 300*M, altså konstant markedspris = 300 kr.
Da er
GI = 300.
Vinningsoptimum finnes der GK = GI (tilsvarer DEK = DEI)
<==> 0,0006*M2 - 0,3*M + 240 = 300 ==> VOM = 653
En kan også finne et uttrykk for resultatet,
Res(M) = Innt(M) - STK(M) ==>
Res(M) = 300*M - 0.0002*M3 + 0,15*M2 - 240*M - 24000
Dersom dette uttrykket deriveres og settes lik 0, kan en finne vinningsoptimal mengde (VOM) og dermed maksimalt overskudd ved å sette verdien for VOM inn i resultatfunksjonen.
11. ENKEL INTEGRASJON (VENTELISTE)
For en gitt funksjon f(x) ønsker vi å finne en funksjon F(x) som er slik at
F'(x) = f(x). Sagt med andre ord ønsker vi å finne en funksjon F(x) som er slik at den deriverte av denne funksjonen blir lik den funksjonen f(x) som vi startet med. Vi kaller F(x) for den antideriverte, eller integralet av f(x). Integrasjon og derivasjon er altså to motsatte regneoperasjoner.
ò f eller ò f(x) dx leses som det ubestemte integralet til f(x).
"dx" i ovennevnte uttrykk har for oss ingen egen betydning, og er således bare en del av notasjonen for et integral.
Eksempel:
Anta at grensekostnaden, GK = 10 + 5*M,
Hva vet vi da om de totale variable kostnadene, VTK?
Kontroll: F(M) = 10*M +(5/2)*M2 ==>
F'(M) = 10 + 5*M = f(M).
ANVENDELSE AV INTEGRALREGNING: AREAL
Dersom vi framstiller grensekostnaden GK grafisk, kan vi si at de totale variable kostnadene, VTK ved en bestemt produksjonsmengde er arealet under grensekostnadskurven, GK mellom 0 og produksjonsmengden.
La oss beregne VTK ved M = 100 enheter som arealet under grensekostnadskurven mellom 0 og 100 enheter:
= 1000 + 25000 = 26000.
Kontroll: VTK = 10*M +(5/2)*M2 = 10*100 +(5/2)*(100)2 = 26000
(q.e.d)